JOIN GEOMETRIES : UN APPROCCIO SINTETICO ALLA CONVESSITA'

Abstract

Gli insiemi convessi hanno come noto un ruolo centrale nei
problemi di ottimizzazione. Essi intervengono ad esempio come
insiemi soluzione di un sistema di disequazioni lineari in n
variabili reali. Le caratteristiche geometriche di tali insiemi
interessano, in tali applicazioni. piu‘ che altro per le loro
conseguenze algebriche: si pensi al ruolo che i vertici di un
poliedro giocano nella ricerca del massnmo di un funzionale
lineare. Anche per questo motivo l‘approccio classico allo studio
degli insiemi convessi e' stato quello di far uso delle
coordinate. immergendosi in R" . La natura geometrica di tali
problemi consente, pero'. di darne delle dimostrazioni per via
sintetica, anziche' analitica, cioe' senza far uso delle
coordinate. Un modo molto generale per trattare la convessita' per
via. sintetica. che permette anche di semplificare alcune
dimostrazioni e per di piu' fornisce modelli anche fuori della
geometria euclidea. e' quello introdotto da Prenowitz. consistente
nella geometria dei Join Spaces. un join space e' un insieme
munito di una iperstruttura. chiamata prodotto join, soddisfacente
a opportuni assiomi suggeriti dall'operazione geometrica
elementare consistente nell'assegnare ad ogni coppia di punti di
uno spazio euclideo l'insieme dei punti del segmento che li
congiunge. In questo modo, per un sottoinsieme di X l'essere
convesso equivale all'essere stabile rispetto al prodotto join. I
pochi assiomi stabiliti da Prenowitz permettono, come ora vedremo,
di sviluppare una teoria della convessita‘ che fa ritrovare. senza
far uso delle coordinate. i piu‘ importanti teoremi sugli insiemi
convessi.